如何用Matlab求解方程组微积分笔记——傅立叶变换
本文将傅立叶变换，简称FT。
网上有很多关于FT的文章，还有动画和一系列首尾相连的棒子。看着疯狂酷炫，看完觉得FT很牛逼，但还是不& amp#039;我不懂金融时报。一个好的函数怎么会是一系列正弦波呢？什么时域频域？听着，高个子。
从最基本的三角级数入手，阐述了傅立叶变换的数学本质。内容很硬核。如果你只是想随便看看，搜一下FT的视频，看到那个挥着小棍子的。
0 序，为什么FT这么难以理解
FT放在微积分最后一章的最后一节。本身篇幅不多，概念、定理、推导过程不多。这只是开始。之后FT出现在信号与系统中。然而，在信号系统中，强调了傅立叶变换的应用。FT的出口不是它的重点。所以就FT学习而言，是脱节的。微积分中没有提到FT的应用，导致FT的意义没有得到很好的实现。信号系统中FT的推导不够严谨，导致知其所以然而不知其所以然。但是FT的思想，微积分教材本身是不明确的。所以这就造成了对于每一个工科生来说，FT都是一场噩梦，睡得云里雾里，醒得云里雾里。我们在学习FT的时候，一定要相应的阅读各科教材。只读一本书是不够全面的，自然你可以& amp#039;我不明白FT的意思。
首先：
FT求导在于微积分，因为用到了定积分的概念，这是物理的。FT用线性代数来理解，它的数学本质是线性空间的变换，是玄学。FT应用于信号系统，是物理的。明白这三点，就有了学习FT的方法。
其次，学习FT，一定要学习它的基础。打牢基础。FT基于傅立叶级数，傅立叶级数基于三角级数。所以，至少我学FT，一半以上的精力都花在三角级数上。明白了三角级数的来龙去脉，FT就是顺理成章的事情了。
在讲
1 级数
三角级数之前，还是要先复习一下级数。串联是好事，它能把坏事变成好事。比如幂级数的一个非常好的用途就是它可以解方程，不管是超越方程还是微分方程。在电路中，整流电路用泰勒级数求解。级数是一个非常违反直觉的概念。举几个例子。首先是大家都很熟悉。
0.9999999999.=1
另一个有条件收敛的常数项级数，变化项，可能导致级数不收敛或收敛到其他值。简单来说，条件收敛的级数不符合加法交换律。乍一看，太神奇了！加法交换律，小学学的，居然不及格！
在微积分中，级数仍然是一个非常重要的概念和理论。可以证明前面已经埋了很多教材。比如如何判断一个隐函数是否有函数，如何判断一个微分方程是否有解甚至唯一解。
从形式上讲，级数是无穷多个正则项的和。所以我们可以用任何组合，只要是正则的，可以代替数字或者函数。剩下的两个问题是：
不管是收敛到一个常数还是一个函数，(废话，什么& amp#039;s不收敛的点)收敛速度，(当然越快越好)。问题1:工程是有福气的，所以可以忽略，有狄利克雷收敛条件保证。万一它不满意，它不& amp#039;没关系，有一个广义的FT。
问题2，FT不涉及。
2 三角级数
为什么函数要转换成三角级数？我& amp#039;恐怕这是第一个问题。暂时按一下。我们要解决的是，如果表示成一系列三角函数，是什么形式？以下是第一个想法：
很自然，但也很不好。因为它不是正交的。非正交性的问题是很难找到系数。所以它变成了：
这个形式很好，正交！求系数是很容易的。
什么是正交，为什么正交是我们追求的？参见下面的推导过程。
随之而来的第二个问题是，x是一组实数，有正值也有负值。为什么教材讲到三角函数f的n只取正整数
3 三角级数的数学意义
这是形而上的，需要着重把握。从线性代数的角度看，三角级数的本质是空间变换，将原本x空间的函数映射到三角函数空间。但不同于普通意义的线性代数，这里变换的是函数，而不是一般的实数。
这是学习FT最重要的一点。FT的数学意义必须从线性代数的角度来理解。但是微积分受学科限制，往往教材不会指出这一点。至于信号与系统，根本不是数学书。而线性代数的教材本身不涉及微积分，所以一般不会讲FT。
罚款上面的粗体字！再给我一张照片
这是一个线性变换，从左边的f(x)到右边的a0，a(n)和b(n)。三个变换积分是& ampquot矩阵& ampquot线性代数里！精品！
，有& amp#039;这里的变化真大！
我们从初中接受的教育，y=f(x)，是y和x的函数，是一个映射。这是学习FT的一个非常大的障碍。结果总觉得FT很不自然。一个函数怎么可能是一系列正弦函数的和？It & amp#039;令人难以置信。这种想法的根本问题在于，你还是从初等数学或者经典微积分的角度来看待函数的概念。该函数是从x到y的映射。
正如你站在加利利的转变& amp#039;的观点，你永远也不会理解狭义相对论。你永远无法从均匀空间的角度理解广义相对论，就那样。
抛弃函数这个概念！欲练神功，挥刀自宫！一切都是级数！一切都是无穷和！
在级数眼里，一切都是一系列正则表达式的和，无穷和！我们借用信号系统中脉冲函数的概念。
明白了吗？即使是传统意义上的，功能还是可以算一个的。
系列有规律的表达式的和，这里就是一串冲激函数的和，只不过每个冲激函数都被调制了！在线性代数的角度，冲激函数就是基，而且是标准的不能再标准、简单的不能再简单的，正！交！基！那么三角级数，就是原本你是用冲激函数这组基线性组合的，现在我用三角函数这组基来搞线性组合，不可以吗？站在线性代数的角度，当然可以！而且无比自然！
所以，学FT，首先要破除这个我们学了中学6年的函数的思想。将y=f(x)，不要看成一个表达式。充分理解了这点。那么接下来的问题就是：
既然x能描述y，肯定不止x能描述y，能找到其他的表达式就行。
这就是线性代数的思想——空间变换！就是找到另一组正交基！这里，由于三角函数系的正交性，自然而然就被我们选中！
稍微总结一下，体会一下，再继续后面的推导过程！
总之，在级数的宇宙观里，没有映射这个玩意儿。一切都是无穷和。加点线性代数的概念，一切都是一组无限维数的正交基的线性组合。充分理解这个观点，直到你对
0.999999.... = 1
有了新的认识。
4 三角级数的推导
接着就是形而下的问题了，如何求系数。
在线性代数角度看，就是求解一个非常“稠密的”线性方程组。
码字太烦，直接上图
以上就是傅里叶级数的三角级数形式。
5 傅里叶级数的复数形式
教材中，包括信号系统的教材，把复数形式的傅里叶级数，用欧拉公式，从三角级数推导。这个方法非常烂！
如果你充分理解了上面的过程。应该有一个问题：还有没有其他的级数？或者站在线性代数的角度，还有没有其他空间了？或者有没有其他的正交基了？舔狗地讲，哪怕不正交也行。答案是有的，女神可不只三角函数一个！指数函数也可以组成正交基
这里一个小问题是，为什么指数函数可以有负数部分了？原因还是在于正交性！
三角函数中，由于负部分对三角函数构成冗余，导致基的非正交，所以我们舍弃了负的部分。而在指数函数中，如果要构成正交，必须引入负的部分。
接下去就可以用三角级数的过程，定积分的思想，推导复数级数。这里略。
用这个思路去理解所谓的“傅里叶级数的复数形式”！或者抛弃“傅里叶级数”、“傅里叶级数的复数形式”两个名词。着眼于“三角级数”、“复指数级数”两个名词，或许更能说明问题。
将欧拉公式看成一种偶遇，正好指数函数是三角函数的复数形式。假装我们发现了新的正交基（复指数），并又满怀豪情地推导了一把。
6 傅里叶变换
微积分中，对傅里叶变换的描述非常少，甚至于标题都是傅里叶积分。直接上图
明白了三角级数的由来，明白了指数级数的由来。FT是无比自然的东西。就是在另一个空间考察函数！而“那个”空间，在信号系统课程里，称为频域，原来的那个空间，称为时域。而在数学里，只有空间，没有时域频域之分。
7 尾声
FT不容易学，原因是要学透它所需要的知识分散在不同的教材。需要融会贯通！
在线性代数的山顶，握着定积分的推导工具，俯视傅里叶变换，俯视时域频域！在我眼里，只有线性空间，只有正交基，只有线性组合。
体会到了这一点，就不难理解傅里叶变换了。至于一串首尾相连的小棍子甩甩的，看看就好。
还有没有其他的正交基？微积分里没有了，这回是真的没有了。。。
还有一个拉普拉斯变换，简单，将不收敛的变成收敛！就这么一个目标。之前用的指数函数，指数是纯虚函数，一直振荡的。拉普拉斯就是将它用完全的复数当指数，使得有一个很强的收敛的包络。
既然你看到这里了，最后再说一个学FT的小窍门，掌握一门画图的工具，MATLAB或者Python（有matplotlib库）。事半功倍！
微积分傅里叶变换 傅里叶变换属于微积分
